Limite d'une suite

Définitions  

• Une suite admet une limite finie  \(l\in\mathbb{R}\)  en  \(+\infty\) lorsque les termes  \(u_n\)  se rapprochent de plus en plus de  \(l\)  lorsque  \(n\)  tend vers  \(+\infty\) . On dit alors que la suite est convergente et on note  \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=l\) .
• On dit qu’une suite est divergente lorsqu’elle n’est pas convergente. Deux cas sont possibles :
  - la suite n’a pas de limite ;
  - la suite a pour limite   \(+\infty\)  (respectivement   \(-\infty\) ) lorsque, pour tout réel positif (respectivement négatif) \(M\) , ses termes appartiennent tous à l’intervalle \(]M;+\infty[\) (respectivement  \(]-\infty;M[\) ) lorsque \(n\)  devient très grand.
  

Exemple 1  
Soit  \((u_n)_{n\geqslant1}\)  la suite de terme général  \(u_n=\dfrac{1}{n}\) .
On calcule les premiers termes de la suite  \((u_n)_{n\geqslant1}\)  et on peut voir que plus  \(n\)  est grand, plus les termes  \(u_n\)  se rapprochent de  \(0\) .

On conjecture que la suite  \((u_n)_{n\geqslant1}\)  admet comme limite finie  \(0\) .
Cette conjecture est exacte, on peut la démontrer. On note :    \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=0\) .

Exemple 2  
Soit  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  la suite définie par  \(\begin{cases} v_0 = 5 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = \dfrac{2v_n+2}{v_n+3}\end{cases}\) .

À l'aide de la représentation graphique de la suite, on peut conjecturer qu'elle admet \(1\)  comme limite finie. On note :   \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=1\) . 

Exemple 3  
Soit  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  la suite arithmétique de premier terme  \(w_0=2\)  et de raison  \(r=-5\) .
Pour tout réel \(M<0\) , on peut toujours trouver un rang  \(p\)  tel que le terme \(u_p\)  soit inférieur à  \(M\) .
En effet, pour  \(M=-1000\) , par exemple,  \(w_p=2-5p<-1\ 000\Leftrightarrow p>\dfrac{1\ 002}{5}\) . C'est-à-dire  \(p\geqslant 201\) .
De même pour  \(M=-1\ 000\ 000\) ,  \(w_p<-1\ 000 \ 000\Leftrightarrow p>\dfrac{1\ 000\ 002}{5}\) . C'est-à-dire  \(p\geqslant 200\ 001\) .
La suite  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  admet comme limite \(+\infty\) . On note :    \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n=+\infty\) .

Exemple 4  
Il existe des suites qui n’ont pas de limite, comme la suite  \((s_n)_{n\in\mathbb(N)}\) définie par  \(s_n=(-1)^n\) .